1.- Introducción
En este tema vamos a estudiar y conocer algunos conceptos básicos del dibujo geométrico y las construcciones básicas con las que podemos trabajar.
Dentro de los muchos trazados geométricos que se pueden estudiar el presente tema vamos a tratar únicamente los más básicos, empezando por el punto, la línea, el plano, suma de segmentos, la circunferencia, la mediatriz, la bisectriz, líneas perpendiculares, líneas paralelas y los ángulos.
Una vez conocidas la maneras de trazar estos elementos fundamentales los iremos aplicando sucesivamente para estudiar cómo se trazan triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.
Dentro de los muchos trazados geométricos que se pueden estudiar el presente tema vamos a tratar únicamente los más básicos, empezando por el punto, la línea, el plano, suma de segmentos, la circunferencia, la mediatriz, la bisectriz, líneas perpendiculares, líneas paralelas y los ángulos.
Una vez conocidas la maneras de trazar estos elementos fundamentales los iremos aplicando sucesivamente para estudiar cómo se trazan triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.
2.- Construcciones Elementales
2.1.- Conceptos Fundamentales
- Carece de dimensiones, por lo cual debe considerarse como una posición del espacio.
- Si es el resultado de la intersección de dos líneas lo designaremos con una letra mayúscula A, B, C...
- Si es el centro de una circunferencia lo designaremos con la letra O.
- Existe una serie de puntos notables que cumplen una función o bien ocupan una posición que los diferencia del resto de puntos: Los Vértices, los Centros, los Puntos Medios, etc.
- Es Unidimensional. Se puede considerar como una sucesión de puntos.
- Se nombran con letras minúsculas a, b, c...
- Línea Recta: los puntos están todos en la misma dirección
- Línea Curva: los puntos van cambiando de dirección continuamente.
- Línea Poligonal: los puntos van cambiando de dirección a intervalos.
- Semirrecta: es una línea limitada por un punto P en uno de sus extremos
- Segmento: es una línea limitada por dos puntos A y B, uno a cada extremo.
- Es ilimitado y está definido por tres puntos no alineados, dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas y una recta y un punto no coincidentes.
- Se nombran con una letra del alfabeto griego alfa, beta, gamma...
- Polígonos: Planos limitados por distintas líneas rectas
- Cónicas: Planos limitados por líneas curvas cerradas
- Es la parte o porción de plano limitada por dos semirrectas con un origen común O. Las semirrectas se denominan "lado del angulo" y al origen lo denominamos "vértice del ángulo".
- Se designan con la letra del punto vértice (A, B, C...) o una letra griega en minúscula.
2.2.- Copia, Suma y Resta de Segmentos
- Tenemos un segmento AB y vamos a copiarlo con la misma magnitud usando un compás y una regla.
- Trazamos una semirecta desde un punto A'.
- Tomamos la medida AB con el compás.
- Trasladamos la distancia AB sobre la semirecta que hemos trazado. Con la medida tomada anteriormente con el compás haremos centro en el punto A' de la semirecta y la marcaremos obteniendo B'.
- Finalmente pasamos a tinta el resultado, y obtenemos así la Copia del Segmento A'B'
- Trazamos una semirecta desde un punto A'.
- Tomamos la medida AB con el compás y la copiamos en la semirecta, a partir de A', obteniendo así el segmento copia A'B'.
- A partir de B' repetimos la operación con el siguiente segmento a sumar CD.
- La solución es la totalidad de los segmentos copiados uno detrás de otro. El resultado lo pasamos a tonta, obteniendo así la Suma de Segmentos A'D'.
- Trazamos una semirecta desde un punto A'.
- Tomamos la medida AB, el mayor de los segmentos, con el compás y la copiamos en la semirecta, a partir de A', obteniendo así el segmento copia A'B'.
- A partir de A' nuevamente, repetimos la operación con el siguiente segmento, menor, a restar CD.
- La solución es la diferencia de los segmentos copiados uno dentro de otro. El resultado lo pasamos a tinta, obteniendo así la Resta de Segmentos D'B'.
2.3.- Copia, Suma y Resta de Ángulos
Copia de Ángulos:
- Dado un ángulo (a) se trata de trazar otro ángulo (a') igual. al anterior.
- Se traza un segmento o semirecta a' y se indica su extremo v' que será el vértice del nuevo ángulo copiado.
- Con centro en el punto v se traza un arco de radio cualquiera que corta los lados de este en los puntos 1 y 2. Con centro en v' se traza un arco de igual radio que cortará al lado a' ya dibujado en el punto 1'.
- Desde el punto 1 del ángulo dado, se mide con el compas la distancia desde 1 hasta 2. En el nuevo ángulo copiado con centro en 1' se traza un arco que corte al anterior obteniendo 2'.
- Se une v' con 2'. Ya hemos Copiado el Ángulo.
Suma de Ángulos:
- Para sumar dos ángulos hemos de copiar un ángulo encima del otro, compartiendo ambos un lado que finalmente no será parte del resultado.
- Se traza un segmento o semirecta y se indica v' que será el vértice del nuevo ángulo resultado a+b. Con centros en los puntos (va) y (vb), se traza un arco de radio cualquiera pero iguales, que corta ambos lados de los ángulos en los puntos 1a y 2a y también en 1b y 2b.
- Con centro en v' se traza un arco de igual radio que cortará al lado ya dibujado en el punto 1'.
- Desde el punto 1a, se mide con el compás la distancia 1a-2a, colocándola en el resultado desde 1', obteniendo así el pto. 2'.
- Se mide, con compás, la distancia 1b-2b.Desde 2' trazamos un arco de radio 1b-2b para obtener 3'.
- Se une v' con 3', obteniéndose así la suma de los dos ángulos.
Resta de Ángulos:
- Para restar dos ángulos hemos de copiar un ángulo menor dentro del otro mayor, compartiendo ambos un lado que finalmente no será parte del resultado.
- Se traza un segmento o semirecta y se indica v' que será el vértice del nuevo ángulo resultado a-b. Con centros en los puntos (va) y (vb), se traza un arco de radio cualquiera pero iguales, que corta ambos lados de los ángulos en los puntos 1a y 2a y también en 1b y 2b.
- Con centro en v' se traza un arco de igual radio que cortará al lado ya dibujado en el punto 1'.
- Desde el punto 1a, se mide con el compás la distancia 1a-2a, colocándola en el resultado desde 1', obteniendo así el pto. 2'.
- Se mide, con compás, la distancia 1b-2b.Desde 2' trazamos un arco de radio 1b-2b para obtener 3'.
- Se une v' con 3', obteniéndose así la resta de los dos ángulos.
2.4.- Lugares Geométricos
La Circunferencia:
La Circunferencia:
- La CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo O.
- Conociendo la distancia r a la que equidistan los puntos de este lugar geométrico, se usa un compás al que se fija justamente el valor de apertura r.
- Se coloca el eje del compás sobre el punto O y se traza un arco completo de 360º, para obtener así la Circunferencia.
- La MEDIATRIZ de un segmento es la recta perpendicular a este por su punto medio.
- También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de los extremos de un segmento.
- Se trazan dos arcos de igual radio con centro en ambos extremos A y B. Se obtienen así los puntos 1 y 2 donde ambos arcos se cortan.
- Se unen los puntos 1 y 2 para obtener la Mediatriz.
La Bisectriz de un Ángulo con Vértice Conocido:
- La BISECTRIZ es la semirecta que divide un ángulo en dos partes iguales pasando por el vértice
- También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los dos lados de un ángulo
- Con centro en el vértice y un radio cualquiera (suficientemente amplio) se traza un arco que corta a ambos lados del ángulo en los puntos 1 y 2.
- Con centros en los puntos 1 y 2 se trazan dos arcos de igual radio (mayor a la mitad de la distancia entre 1 y 2) que se cortan en el punto 3.
- Se une el punto 3 con el vértice del ángulo dado, obteniéndose así la Bisectriz.
- Vamos a explicar el método de Compresión del Ángulo para obtener el vértice
- Se trazan dos rectas paralelas a las rectas r y s, ambas a la misma distancia de las originales. Así obtenemos un nuevo ángulo del que si vemos su vértice
- Se traza la Bisectriz de a manera explicada en el apartado anterior
La Paralela:
- La PARALELA se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otra recta.
- Se elige un punto X centrado en la recta como centro y se traza una semicircunfenerncia de radio XP que la corta en dos puntos: 1 y 2.
- Con centro en el punto 1 se toma el radio 1P y desde el punto 2 se traza un arco que corta al primero en el punto 3.
- Se une el punto 3 con P, obteniéndose así la Paralela.
La Perpendicular a una Recta:
- La PERPENDICULAR se puede definir como la línea recta que forma un ángulo recto (90º) con otra línea recta u otro plano
- Con centro en P se traza un arco de circunferencia que corte a la recta en dos puntos: 1 y 2.
- Con centro en los puntos 1 y 2, se trazan dos arcos de radio mayor a la mitad de la distancia entre ellos. Donde ambos arcos se cortan obtenemos el punto 3.
- Se une el punto 3 y el punto P, obteniéndose así la Perpendicular.
- Vamos a explicar el método para trazar la Perpendicular a un Segmento por uno de sus extremos.
- Elegimos un punto O desde el que hacer una circunferencia que pase por A y corte a la recta en otro punto, 1.
- Trazamos recta que pasa por 1 y por O, obtenemos el pto. 2.
- Unimos 2 con A, obteniéndose así la Perpendicular por el Extremo.
3.- Triángulos
3.1.- Clasificación de los Triángulos
- Un TRIÁNGULO es una superficie plana limitada por tres segmentos o lados que se cortan dos a dos en tres vértices.
- Los vértices se nombran con letras minúsculas (a, b, c) y los lados con letras mayúsculas (A, B, C) empleando la misma letra que el vértice opuesto.
- Clasificación según sus lados; Equilátero, Isósceles o Escaleno.
- Clasificación según sus ángulos: Rectángulo, Acutángulo, Obtusángulo.
3.2.- Líneas y Puntos Notables
Circuncentro:
- El CIRCUNCENTRO es el punto de corte de todas las mediatrices del triángulo, por lo que es el centro de la circunferencia circunscrita.
- Recordemos que las Mediatrices de un triángulo son las rectas que dividen cada lado del triángulo en dos partes iguales.
- El INCENTRO es el punto de corte de todas las bisectrices del triángulo, por lo que es el centro de la circunferencia inscrita.
- Recordemos que las Bisecrices de un triángulo son las rectas que dividen cada ángulo del triángulo en dos partes iguales.
- El BARICENTRO es el punto de corte de todas las medianas del triángulo, por lo que es el centro de gravedad del triángulo.
- Recordemos que las Medianas de un triángulo son las rectas que une el punto medio de cada lado con el vértice opuesto.
- El ORTOCENTRO es el punto de corte de todas las alturas del triángulo.
- Recordemos que las Alturas de un triángulo son las rectas que une la recta perpendicular de cada lado con el vértice opuesto.
3.3.- Triángulo Conocidos sus Lados
- Sobre una recta r se copia el segmento AB.
- Con radio AC y centro A trazamos otro arco.
- Con radio BC y centro en B trazamos otro arco.
- La intersección de ambos arcos es el vértice C, obteniéndose así el Triángulo
3.4.- Triángulo Equilátero Conocida su Altura
- Trazamos una recta horizontal donde situaremos la base del triángulo. A partir de esta trazamos una perpendicular y sobre ella copiamos la altura dada.
- Dividimos la altura en tres partes iguales. Los puntos de dichas divisiones las denotamos como 1, 2 y 3
- Haciendo centro 1, con radio hasta 3, trazamos una circunferencia. Los puntos 4 y 5 donde la circunferencia corta a la recta de la base serán los extremos de esta.
- Trazamos el Triángulo Equilátero.
3.5.- Triángulo Isósceles Conocida su Base y su Altura
- Trazamos una recta horizontal donde situaremos la base del triángulo AB conocida. A partir de esta horizontal trazamos la mediatriz y, sobre ella, copiamos la altura h dada. De esta manera obtendremos el punto C.
- Finalmente, trazamos el Triángulo Isósceles ABC.
4.- Cuadriláteros
4.1. Clasificación y Propiedades
- Un CUADRILATERO es un polígono que tiene cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales. La suma de sus ángulos interiores es igual a 360º. La suma de sus ángulos exteriores es igual a 360º.
- Los PARALELOGRAMOS son un tipo de cuadrilátero que se caracteriza por tener los lados paralelos dos a dos: Cuadrado, Rectángulo y Rombo
- Los TRAPECIOS son un tipo de cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos.
- Los TRAPEZOIDES son un tipo de cuadrilátero que tiene todos los lados desiguales y no paralelos.
4.2.- Rectángulo Conocido un Lado y su Diagonal
- Trazamos la mediatriz de la diagonal AC y desde el punto medio trazamos la circunferencia de la cual es diámetro.
- Con radio AB y centros A y C trazamos dos arcos que cortan a la circunferencia en B y D
- Trazamos el Rectángulo ABCD
4.3.- Rombo Conocidos un Lado y una Diagonal
- Dibujamos primero la diagonal AC.
- Luego tomamos como radio el lado AB y, con centros en A y C, trazamos sendos arcos. Los dos arcos se cortan en los puntos B y D.
- Unimos A-B-C-D para trazar el Rombo ABCD.
4.4.- Rombo Conocidas sus Diagonales
- Dibujamos primero la diagonal AC y trazamos su mediatriz.
- Sobre la mediatriz de AC copiamos en dos mitades la diagonal menor, obteniendo los puntos B y D sobre la mediatriz de AC.
- Unimos A-B-C-D para trazar el Rombo ABCD.
- Situamos el segmento AB como base. y trazamos luego su mediatriz.
- A partir del punto medio del segmento AB copiamos la altura h.
- Por el extremo superior de h trazamos una paralela al segmento AB.
- Con radio igual a la diagonal dada y con centros en los extremos del segmento AB trazamos dos arcos que cortan a la paralela de la base, obteniendo los puntos C y D
- Trazamos así el Trapecio ABCD.
5.1.- Triángulo Equilátero
- Trazamos un diámetro
- Con centro en un extremo y radio igual al la circunferencia, trazamos un arco
- Unimos el otro extremo del diámetro con los dos puntos en la circunferencia que nos han dado los arcos y obtenemos el Triángulo.
5.2.- Cuadrado
- Trazamos un diámetro.
- Trazamos un diámetro perpendicular
- Unimos los puntos de corte de los diámetros con la circunferencia y obtenemos el Cuadrado.
5.3- Pentágono
- Trazamos un diámetro.
- Trazamos un diámetro perpendicular al primero.
- Hacemos la mediatriz de un radio obteniendo m.
- Con centro en m y radio am trazamos un arco para obtener b => ab es el lado del pentágono inscrito.
- Con radio ab empezando por a trazamos arcos sobre la circunferencia
- Unimos todos los puntos de la circunferencia y obtenemos el Pentágono.
5.4.- Hexágono
- Trazamos un diámetro.
- Con centro en un extremo y radio igual al la circunferencia. trazamos un arco.
- Repetimos la operación desde el otro extremo.
- Unimos los puntos y obtenemos el Hexágono.
- Trazamos un diámetro.
- Trazamos un arco de igual radio a la circunferencia desde un extremo.
- Unimos a con b obteniendo m =>am es el lado del heptágono inscrito.
- Con arcos de radio am, empezando por b, trazamos arcos sobre la circunferencia
- Unimos los puntos y obtenemos el Heptágono.
5.6.- Octógono
- Trazamos un diámetro horizontal.
- Trazamos un diámetro perpendicular al primero.
- Trazamos dos bisectrices a dos cuadrantes.
- Hemos obtenido ocho puntos sobre la circunferencia que, si los unimos, nos darán como resultado el Octógono.
5.7.- Polígono Regular de n lados
- Se trazan dos diámetros perpendiculares de la circunferencia
- Se divide el diámetro vertical en n partes iguales
- Con centro en los extremos A y A' del diámetro vertical se trazan dos arcos de radio igual al diámetro de la circunferencia dada. Estos dos arcos se cortan en el punto P situado en la prolongación del diámetro horizontal.
- Desde el punto P se traza una recta que, pasando por el punto 2, corta a la circunferencia en B.
- La distancia AB es el lado del polígono inscrito.
- Con arcos de radio AB, empezando desde A, trazamos arcos sobre la circunferencia.
- Uniendo todos los puntos de corte obtenemos el polígono de n lados buscado
